\chapter{精确相变方程：从威尔逊云室到闪电和积雨云预测}
\author{李国斌}
\date{2025年8月29日-9月12日}

	\begin{abstract}
		本文旨在重现与诠释查尔斯·汤姆逊·里斯·威尔逊（Charles Thomson Rees Wilson，1869年2月14日—1959年11月15日）在其开创性研究期间（1895-1899）所发展的核心理论：\textbf{过饱和蒸汽在离子上凝结的平衡方程}。威尔逊通过巧妙的实验观察到，当空气绝热膨胀超过某一临界比值时，饱和蒸汽会在离子等带电粒子上发生凝结，形成可见的液滴。本文将从热力学基本原理出发，推导描述这一现象的凝结方程（后人常称之为"威尔逊方程"），并阐释其作为云室（Cloud Chamber）发明之理论基石的深远意义。本文使用现代\LaTeX 排版，并辅以TikZ绘制的示意图以助理解。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	
	在十九世纪末，C.T.R. Wilson在剑桥卡文迪许实验室致力于在受控条件下重现云雾形成的过程。他的实验装置（其原理如图\ref{fig:expansion_chamber}所示）的核心是一个可精确控制膨胀比的密闭云室。威尔逊的系统性观测揭示了一个关键现象：纯净的饱和蒸汽即使适度膨胀也不会凝结；然而，若存在离子或尘埃等凝结核，膨胀后将立即引发凝结。尤为重要的是，他发现存在一个\textbf{临界膨胀比}，超过该值后，即使在没有传统凝结核（如尘埃）的纯净空气中，离子本身也足以成为有效的凝结核心。
	
	本文第二节将定义问题并引入关键物理量。第三节将从经典热力学中的开尔文公式（Kelvin's equation）出发，逐步推导威尔逊凝结方程。第四节将讨论该方程的理论内涵与威尔逊的实验观测如何相互印证。
	
	\section{问题定义与关键概念}
	
	\begin{definition}[过饱和度]
		过饱和度（$S$）定义为蒸汽的实际压强（$p_v$）与其在同一温度下平液面上的饱和蒸汽压（$p_{\text{sat}}$）之比：
		\begin{equation}
			S = \frac{p_v}{p_{\text{sat}}(T)}
		\end{equation}
		$S > 1$ 表示过饱和状态。
	\end{definition}
	
	\begin{definition}[临界半径（开尔文半径）]
		对于一个半径为 $r$ 的纯液滴，由于其表面曲率导致的附加压强（Laplace压强），其平衡蒸汽压高于平液面的饱和蒸汽压。维持该液滴稳定所需的最小蒸汽压由开尔文公式给出：
		\begin{equation}
			\label{eq:kelvin}
			\ln\left(\frac{p_r}{p_{\text{sat}}}\right) = \frac{2\gamma V_l}{r k_B T}
		\end{equation}
		其中，$\gamma$ 是表面张力，$V_l$ 是液体的摩尔体积（或单个分子的体积），$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是绝对温度。对于给定的过饱和度 $S$，存在一个\textbf{临界半径} $r_c$：
		\begin{equation}
			\label{eq:critical_radius}
			r_c = \frac{2\gamma V_l}{k_B T \ln S}
		\end{equation}
		半径小于 $r_c$ 的液滴将蒸发，大于 $r_c$ 的则将生长。
	\end{definition}
	
	威尔逊的核心洞察在于：\textbf{离子提供了一个预成形的"核"，其有效尺寸减小了形成稳定液滴所需克服的能量壁垒}。
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=stealth]
			% Main Chamber
			\draw[thick] (0, 0) rectangle (6, 4);
			\node at (3, 2) {水蒸气与空气混合物};
			\draw[fill=blue!10] (0, 0) rectangle (6, 0.5);
			\node[anchor=north] at (3, 0) {活塞};
			
			% Piston movement
			\draw[->, thick, red] (3, 0.5) -- (3, -0.7) node[anchor=north] {快速膨胀 $\Delta V$};
			\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=5pt, mirror}, yshift=0pt] (6.2, 0) -- node[anchor=west, xshift=5pt] {$V_0 \to V_0 + \Delta V$} (6.2, 4);
			
			% Before and After labels
			\node[anchor=south] at (1.5, 4.2) {膨胀前: $T_0$, $p_0$, 饱和};
			\node[anchor=south] at (4.5, 4.2) {膨胀后: $T_1$, $p_1$, 过饱和};
			
			% Ion and droplet
			\draw[fill=red] (2.5, 2) circle (2pt) node[anchor=west] {离子};
			\draw[fill=blue!30, opacity=0.7] (4.5, 2.5) circle (8pt);
			\draw[->] (2.5, 2.1) to [out=45, in=180] (4.4, 2.5);
			\node at (3.8, 3) {凝结成滴};
		\end{tikzpicture}
		\caption{威尔逊云室原理示意图。通过活塞快速膨胀，使室内气体冷却，蒸汽达到过饱和状态。离子作为凝结核，促使液滴形成。}
		\label{fig:expansion_chamber}
	\end{figure}
	
	\section{凝结方程的推导}
	
	威尔逊的理论旨在确定：\textbf{在给定的过饱和度 $S$ 下，一个半径为 $r_0$ 的带电核（如离子）能否成为一个稳定液滴的凝结中心}。
	
	考虑一个带有电荷 $q$（通常为基本电荷 $e$）的离子。形成围绕该离子的液滴时，系统的总自由能变化 $\Delta G$ 包含三项：
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{表面能项}: $\Delta G_s = 4\pi r^2 \gamma$ （形成新表面所需的能量）
		\item \textbf{体自由能项}: $\Delta G_v = -\frac{4}{3}\pi r^3 \frac{\rho_l}{m} k_B T \ln S$ （气相到液相转变释放的能量，其中 $\rho_l/m$ 是单位体积内的分子数）
		\item \textbf{静电能项}: $\Delta G_e = -\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{\epsilon r} - \frac{1}{r_0} \right)$ （电荷集中于液滴所带来的电能降低，$\epsilon$ 是水的介电常数，$r_0$ 是离子本身的初始半径，此项计算做了简化处理）。
	\end{enumerate}
	
	总自由能变化为：
	\begin{equation}
		\label{eq:deltaG_full}
		\Delta G(r) = 4\pi r^2 \gamma - \frac{4}{3}\pi r^3 \frac{\rho_l k_B T}{m} \ln S - \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{\epsilon r} \right) + \text{常数}
	\end{equation}
	
	为找到形成临界液滴（即 $\Delta G$ 的极大值点，对应亚稳态平衡点）的条件，我们对 $\Delta G$ 求导并令其为零：
	\begin{equation}
		\frac{d\Delta G}{dr} = 8\pi r \gamma - 4\pi r^2 \frac{\rho_l k_B T}{m} \ln S + \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 \epsilon r^2} = 0
	\end{equation}
	
	将上述乘以 $r^2$ 并整理，得到：
	\begin{equation}
		\label{PhaseTransitionPTVSQ}
		8\pi \gamma r^3 - 4\pi \frac{\rho_l k_B T}{m} (\ln S) r^4 + \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 \epsilon} = 0
	\end{equation}
	
	这是一个关于 $r$ 的方程。威尔逊通过分析和实验对比发现，对于临界条件，可以找到一个与开尔文公式（公式\ref{eq:kelvin}）形式相似但经过修正的关系。他最终给出的平衡条件可以表述为：\textbf{存在一个临界过饱和度 $S_c$，使得带有电荷的核成为有效凝结核}。
	
	\section{从云室到积雨云：闪电与降水的预测}
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.7, >=stealth]
			% Cloud outline
			\draw[fill=gray!20, very thick] (0,0) to[out=90,in=180] (1,1.2) to[out=0,in=180] (2,1.8) 
			to[out=0,in=180] (3.5,2.3) to[out=0,in=180] (5,2.5) 
			to[out=0,in=90] (7,2) to[out=-90,in=0] (6,0.8) 
			to[out=180,in=-45] (4,0.5) to[out=135,in=-90] (0,0);
			
			% Anvil cloud
			\draw[fill=gray!40, very thick] (5,2.5) to[out=10,in=90] (8,1.8) 
			to[out=-90,in=0] (7.5,1.2) to[out=180,in=-80] (6.5,1.5) 
			to[out=100,in=0] (5,2.5);
			
			% Charge regions
			\filldraw[red!60, draw=red!80, very thick] (3.8,1.8) circle (0.2) node[black, above] {$+$};
			\filldraw[blue!60, draw=blue!80, very thick] (3.8,1.2) circle (0.25) node[black, below] {$-$};
			
			% Updraft arrow
			\draw[->, very thick, green!50!black] (2.5,0.5) -- (2.5,2) node[midway, left] {上升气流};
			
			% Precipitation
			\foreach \x in {4, 4.5, 5, 5.5, 6}
			\draw[blue!70, thick] (\x,0) -- (\x-0.2,-0.3) -- (\x+0.2,-0.5) -- (\x,-0.8);
			
			% Lightning
			\draw[yellow, very thick, line cap=round] (3.8,1.2) -- (3.9,0.8) -- (3.6,0.4) 
			-- (3.8,0) -- (3.5,-0.5) -- (3.7,-1.0) -- (3.5,-1.5);
			
			% Hail
			\draw[white, fill=gray!20] (5.5,1.5) circle (0.1);
			\draw[white, fill=gray!20] (4.8,1.8) circle (0.08);
			
			% Labels
			\node at (6.5,2.8) {砧状云顶};
			\node at (3,2.3) {过冷水区};
			\node at (2.5,-2) {闪电};
			\draw[->, thick] (2.5,-1.5) -- (3.2,-1.2);
			
			% Height scale
			\draw[<->, thick] (8.5,0) -- (8.5,2.5) node[midway, right] {$\SI{10-15}{\kilo\meter}$};
			
			% Water droplets and ions
			\foreach \x/\y in {2.5/1.2, 3.2/1.5, 4.0/1.8, 4.5/1.0, 3.8/0.8, 4.8/1.4}
			\draw[fill=blue!20] (\x,\y) circle (0.05);
			
			\foreach \x/\y in {3.0/1.0, 3.5/1.3, 4.2/1.6, 4.0/0.9, 4.7/1.2}
			\draw[fill=red] (\x,\y) circle (0.03);
		\end{tikzpicture}
		\caption{积雨云中的电荷分离与微物理过程。上升气流携带水滴和离子，不同大小的粒子携带不同极性的电荷，形成电场，最终导致闪电放电。}
		\label{fig:cumulonimbus}
	\end{figure}
	
	\subsection{多相平衡多尺度粒子连续系统}
	云是一种气体、液体甚至固体构成的多相平衡多尺度粒子连续系统。
	
	水、水蒸气多相系统：当温度$T>T_r=273.16$K，满足方程\ref{PhaseTransitionPTVSQ}
	
	水、水蒸气、冰晶多相系统：
	当温度$T\leq T_r=273.16$K，满足方程\ref{PhaseTransitionPTVSQ}
	且满足Young-Laplace方程，冰晶、水滴、水汽满足接触角张力平衡和压力平衡。
	
	并且接触点电压$U$、电场强度、电荷$q$、电荷密度$\rho_e$满足
	\begin{equation}\label{eqEQr}
		E=\frac{\nabla q}{\nabla r}
	\end{equation}
	
	\begin{equation}\label{eqEUr}
		E=\frac{U}{r}
	\end{equation}
	
	空气在强电场下被击穿表明生成了大量电子，即空气中粒子直径迅速变小，电子数暴涨，因此电子同样满足方程\ref{PhaseTransitionPTVSQ}
	
	\subsection{积雨云中的相变与电荷分离}
	
	在积雨云中，威尔逊的相变方程发挥着至关重要的作用。云中的上升气流将水蒸气带到高空，形成过饱和环境。离子和微小气溶胶粒子成为凝结核，遵循方程\ref{PhaseTransitionPTVSQ}描述的过程。
	
	云中不同大小的水滴和冰晶在碰撞过程中发生电荷转移，导致正负电荷分离。通常，较小的粒子携带正电荷，较大的粒子携带负电荷。重力作用下，较大粒子下沉，形成云中上下部分的电荷分离。
	
	\subsection{闪电形成的临界条件}
	
	当电荷分离达到一定程度，云中形成强电场。电场强度$E$与电压$U$、电荷$q$的关系为：
	\begin{equation}
		E = -\nabla U, \quad \nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}
	\end{equation}
	其中$\rho$是电荷密度。
	
	根据方程\ref{PhaseTransitionPTVSQ}，我们可以推导出闪电发生的临界条件。当电场强度超过空气的击穿场强（约$\SI{3e6}{\volt\per\meter}$）时，发生闪电放电：
	\begin{equation}
		E_c = \frac{U}{r} \geq \SI{3e6}{\volt\per\meter}
	\end{equation}
	其中$r$是带电区域之间的粒子直径。此时粒子压力和温度分别是气体粒子$P_v$、液体粒子$P_{\text{sat}}$、等离子体温度$T$、等离子体速度$v$。
	
	闪电的功率可估算为：
	\begin{equation}
		P = UI = \frac{U^2}{R}
	\end{equation}
	其中$R$是放电通道的电阻，$I$是电流。
	
	\subsection{降水形成的临界条件}
	
	同样，根据方程\ref{PhaseTransitionPTVSQ}，当水滴生长到足够大尺寸，重力超过气流抬升力时，形成降水：
	\begin{equation}
		\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_l g \geq C_D \pi r^2 \frac{1}{2} \rho_a v^2
	\end{equation}
	其中$g$是重力加速度，$C_D$是拖曳系数，$\rho_a$是空气密度，$v$是上升气流速度。
	
	对于冰雹形成，还需要考虑冻结过程和多次循环生长。
	
	\section{结论与展望}
	
	C.T.R. Wilson的相变方程不仅解释了云室中离子诱导凝结的现象，也为理解积雨云中闪电和降水的形成提供了理论基础。通过方程\ref{PhaseTransitionPTVSQ}，我们可以建立粒子尺寸、电荷量、电场强度和过饱和度之间的定量关系，预测闪电和降水的发生。
	
	未来研究方向包括：
	\begin{enumerate}
		\item 改进云微物理过程与电过程的耦合模型
		\item 发展基于Wilson方程的新型闪电预警系统
		\item 探索气候变化对云中相变过程和雷电活动的影响
		\item 将Wilson方程应用于人工影响天气技术中
	\end{enumerate}
	
	Wilson的开创性工作至今仍在气象学、大气物理学和云物理学中发挥着重要作用，他的相变方程是连接微观粒子与宏观天气现象的重要桥梁。
			
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{wilson1897} Wilson, C.T.R. (1897). Condensation of water vapour in the presence of dust-free air and other gases. \textit{Philosophical Transactions of the Royal Society of London. A}, 189, 265-307.
			\bibitem{wilson1927} Wilson, C.T.R. (1927). The acceleration of β-particles in strong electric fields such as those of thunderclouds. \textit{Proceedings of the Cambridge Philosophical Society}, 22, 534-538.
			\bibitem{macgorman1998} MacGorman, D.R., \& Rust, W.D. (1998). \textit{The Electrical Nature of Storms}. Oxford University Press.
			\bibitem{razi2003} Razi, N., et al. (2003). On the Wilson theory of ion-induced nucleation. \textit{Journal of Chemical Physics}, 118, 853-861.
		\end{thebibliography}